【高校講座 数学B 数列】11. (等差数列)×(等比数列)の和

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第11回目の数列は、(等差数列)×(等比数列)の和について考えてみましょう。

等差数列×等比数列の和

次のような和があります。
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k\cdot2^k}
まず注意しておいて欲しいことは、
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k\cdot2^k}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k}\cdot\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{2^k}
ではないということです!和の形になおしてもらえれば左辺と右辺で等しくならないことが分かると思います。こうみると当たり前じゃん、と思うかもしれませんが、次のような間違いが意外と多いので気を付けてください。
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k\cdot2^k}
=\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)\cdot\frac{2(2^n-1)}{2-1}
これは間違いで、先ほど出てきた
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k}\cdot\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{2^k}
の計算をしていることになります。
では、どうすればいいのでしょうか。
そこで出てくるのが、俗にいうかけずら(正式名称ではありません)という方法です。
実際のやり方を見ながらやりましょう。
S=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k\cdot2^k}
とすると、
S=1\cdot2+2\cdot2^2+3\cdot2^3+\cdots+n\cdot2^n…①
これに等比数列の公比である2をかけたものを考えます。
2S=1\cdot2^2+2\cdot2^3+3\cdot2^4+\cdots+n\cdot2^{n+1}…②
そして①-②を次のようにずらしてから計算します。

赤下線部のところは初項2、公比2である等比数列の初項から第n項までの和を表しているので、等比数列の和の公式に代入してから計算していくと以下のようになります。

このように、(等差数列)×(等比数列)の和は公比をかけて、ずらして引くという操作をすれば求めることができます。ですから、このやり方をかけずらと言ったりします。

今回のまとめですが、まずは形をみてすぐに”かけずら”の問題であることが見抜けるように練習しましょう!
あとは計算ですので反復あるのみです!頑張ってください!

最後に今回の内容をまとめた動画を載せているので参考にしてみてください!
次回は群数列についてやりたいと思います!では、また次回に(^^)/

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